====== Fraktal ======


===== Fraktale im Biosystem =====

  * [[http://www.raum-und-zeit.com/raum-zeit/archiv/2011/ausgabe-173/fraktale-im-biosystem.html]]

Der Aufbau der Natur und aller ihrer Bioorganismen und Pflanzen wirkt auf einen neugierigen Beobachter unüberschaubar und unendlich komplex. Doch das betrifft nur ihre äußere Form und Gestalt. Die innere Struktur zeigt hingegen Selbstorganisation, Selbstwiederholung und fraktale Organisation.


===== Das Universum ist fraktal =====

  * [[http://www.pm-magazin.de/de/wissensnews/wn_id543.htm]]

"Fraktal" bedeutet unter anderem "selbstähnlich". Die Astrophysiker Yurij Baryshev und Pekka Teerikorpi stellen in ihrem Buch "Discovery of Cosmic Fractals" die These vor, das Universum sei nicht, wie von Einsteins Gleichungen gefordert, im Großen homogen (gleichförmig), sondern auf jeder Ebene strukturiert. Bis in die höchsten Gebilde - kosmische Zellen und Blasen - kann dies ohnedies beobachtet werden, doch die meisten Astronomen meinen, dass es bei noch größeren Gebilden (z.B. beim hypothetischen "Großen Attraktor") dann gleichförmiger wird. Falsch, meinen die Autoren.

Zu ähnlichen Erkenntnissen kam der italienische Astronom Luciano Pietronero bereits 1987 nach der Auswertung der umfangreichen Galaxienkataloge "Sloan Digital Sky Survery" und "Two degrees fields survey". Das bedeutet, dass die für alle von der Relativitätstheorie abgeleiteten Kosmologien wesentliche Voraussetzung der Homogenität im Großen nicht zutrifft. Mithin sind alle Thesen von Urknall und Ausdehnung des Universums ungerechtfertigt.

Die Erkenntnis ist allerdings nicht neu. Der deutsche Schriftsteller Karlheinz Rader hat sie in seinem Buch "Absage an den Weltuntergang. Eine Geschichte großer Hoffnung für das Leben" (Snayder Verlag, Paderborn 1999) schon vorgestellt und ausführlich erläutert. Rader weitet die Idee der "Selbstähnlichkeit" ins Philosophische:

Es gibt nicht eine Ursache für alles, nicht einen Zeitpunkt, da alles begann, nicht ein geschlossenes Universum, sondern eine Vielzahl nebeneinander existierender, entstehender, wachsender, schrumpfender und vergehender Teil-Gebilde. Auf jeder Skala des Kosmos wirken die gleichen Gesetze: Geburt und Tod, Kampf und Kooperation, Abgrenzung und Zusammenschluss.

Das Weltall ist nicht nur fraktal: Es lebt auch. Denn die Gesetze, welche Elementarteilchen zu Atomen und Atome zu Molekülen zusammenkoppeln, diese Gesetze sorgen auch dafür - auf einer höheren Ebene - dass Zellen sich zu Zellverbänden und zu Organen zusammenfügen, Organe zu Körpern, Körper zu Gruppen, Gruppen zu Sozialverbänden, usw. Und im Weltall geschieht das gleiche: Sterne bilden Galaxien, Galaxien formen lokale Haufen, lokale Haufen schließen sich zu Super-Haufen zusammen, Super-Haufen zu Super-Super-Haufen, diese wiederum zu Kosmischen Zellen ... ad infinitum.

Mit anderen Worten: Es gibt keine Grenze der Organisation, doch niemand ist allein für alles verantwortlich. Jeder Teil des Weltalls, auf jeder Skala, entfaltet sein eigenes Leben in seiner eigenen Vielfalt, und wir alle profitieren davon. Das fraktale Universum als Sinnbild einer kosmischen multikulturellen Gemeinschaft ...


===== Benoît Mandelbrot und seine Julia-Mengen (Das Apfelmänchen) =====

Quelle:
  * DVD "Benoît Mandelbrot FRAKTALE - die verborgene Dimension" ab Position 20. Minute
  * [[http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/fractal/julia/]]

  f(z) = z² + c
  
  z2 = z1² + c
  z3 = z2² + c
  z4 = z3² + c
  ...

Milionen von Ergebnissen als Punkte in einem Koordinatensystem (Graphen) eingetragen, ergibt es fraktale Gebilde.

Beispiel:
  > ./Fraktale.sh -c 1 -z1 1 -d 23
  Z_1: 1
  Z_2: 2
  Z_3: 5
  Z_4: 26
  Z_5: 677
  Z_6: 458330
  Z_7: 210066388901
  Z_8: 44127887745906175987802
  Z_9: 1947270476915296449559703445493848930452791205
  Z_10: 3791862310265926082868235028027893277370233152247388584761734150717768254410341175325352026
  Z_11: 14378219780015246281818710879551167697596193767663736497089725524386087657390556152293078723153293423353330879856663164406809615688082297859526620035327291442156498380795040822304677
  Z_12: 206733204042421677181634718734036889377274379383357716793405865823317095368775657289542893376781635914484312173817557988370878548961245582641826131216636641404794790451610519266609830021136113094251414331...
  Z_13: 427386176536455544874256694179553677635484891781537912128903318851388909989008085081463117579390931989542209959634938804698936550600102727375300684858875338867502633190881288751006179617401729186910948290...
  Z_14: 182658943894450344123394490361937445050526190552621639219005156954855531119115828886713293899194771228859138335235758813881039406030238732627040060039657076461493442790137877736647452532674992062436263271...
  Z_15: 333642897846359586471724164655291870092048558358476790577697267238819243156688568902891289228283413858062309875725152482227136996947443697303652513377116602331136591636053956275466137486884752646971014323...
  Z_16: 111317583283316338384620667373581105466338482631068436939308805275832402740315184505968407606375956012862153017508623736332892937524961961651502153515356301478879221684725016823616582151664525857839993861...
  Z_17: 123916043480380691070403417234168955766929867570845576160491257860148514807128292828559070040150569938359665466779908093661971272817988094609392101919725347124349041906605485799358239672305435777335663407...
  Z_18: 153551858318315979728652601079508082285393836181672997256315342784487305600398080406148371212971378744072847930898342957851666295482214125541191374653442739863836964615106103231679452000496364279578642736...
  Z_19: 235781731930081843381749484151945171798529767769951642056119914309353363519029522113406586958164162456709711381015919082489418054509379021818332460877197758732440204301593190823690728554029532138337182048...
  Z_20: 555930251119489758734918097517985759619130472925870359800934684502491157242628857901279437609840276588931648754840776403770932810259951068097879234854050638875326000750817533271930721902054851991621918088...
  Z_21: 309058444109778944145142723277761536503571384618983398528954331927113616639979090229251320581054157523455645414429662937817121147317643935488171446509756050856722551488946509068811713442273612043109267064...
  Z_22: 955171218755573553349728570059174863521861155893809822692966803707699862232855258750708151048532330797096241691485638348123430089058244003860814053438080645115652564500814824488932133435592585013318600792...
  Z_23: 912352057139007747054187830987175898583070196278597048269148836790360355118882233245989671979501753314059438113060678319313888096184845031300727654940869498500755288903084398040793560880721146305907245929...

<file bash Fraktale.sh>
#!/usr/bin/env bash

#
# Juliamengen und Mandelbrotmenge
#

#------------------------------------------------------------------------------#
while [ "${#}" -ne "0" ]; do
        case "${1}" in
                -c)
                        C=${2}
                        shift
                        ;;
                -z1)
                        Z=${2}
                        shift
                        ;;
                -d)
                        D=${2}
                        shift
                        ;;
                -h)
                        echo "
                        HILFE:
                        ${0} [Option]
                        z2 = z1²+c
                        -c [Wert]
                        -z1 [Startwert]
                        -d [Anzahl der Rechendurchlaefe]
                        "
                        exit 0
                        ;;
                *)
                        if [ "$(echo "${1}"|egrep '^-')" ] ; then
                                echo "Der Parameter '${1}' wird nicht unterstützt!"
                        fi
                        shift
                        ;;
        esac
done
#------------------------------------------------------------------------------#

#set -x

if [ -z "${D}" ] ; then
        echo "Die Anzahl der Rechendurchlaefe muss mit '-d' angegeben werden!"
        HILFE="Ja"
fi

if [ -z "${C}" ] ; then
        echo "Der Wert fuer 'C' muss mit '-c' angegeben werden!"
        HILFE="Ja"
fi

if [ -z "${Z}" ] ; then
        echo "Der Wert fuer 'Z1' muss mit '-z1' angegeben werden!"
        HILFE="Ja"
fi

if [ "${HILFE}" = "Ja" ] ; then
        ${0} -h
        exit 1
fi

#------------------------------------------------------------------------------#
ZAHL="1"                # Startwert fuer den Durchlaufszaehler

for i in $(seq "${ZAHL}" "${D}")
do
        echo "Z_${i}: ${Z}"
        #Z="$(echo "${Z} ${C}" | awk '{print $1 * $1 + $2}')"
        Z="$(echo "${Z} * ${Z} + ${C}" | bc -l)"
done
</file>


===== Mandelbrot-Menge der Gleichung z = c + pi * sin z =====

  z2 = c + pi * sin z1


===== Videos =====

  * [[https://www.youtube.com/watch?v=qhbuKbxJsk8|Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics]]