====== Johannes Kepler ====== Johannes Kepler hat drei Planeten-Gesetzt formuliert. Das dritte Keplersche Gesetz beschreibt die Harmonie, die man überall in der Natur wiederfindet. Egal ob im laufe der Planeten (Makrokosmos) oder im mikroskopischen (Mikrokosmos). Isaac Newton begründete unsere heutige Physik auf die ersten beiden Keplerschen Gesetze, da er das dritte nicht verstanden hatte. Und so geriet das dritte Keplersche Gesetz in den folgenden 500 Jahren völlig in Vergessenheit. Bis Hartmut Müller mit seiner //Global Scalling//-Theorie 1984 auf völlig andere Art und Weise genau das selbe Thema beleuchtete und wissenschaftlich beschrieb. ===== Keplers Gesetze ===== * [[http://de.wikipedia.org/wiki/Keplergesetze]] * [[http://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Konstante]] **Die drei newtonschen Axiome basieren auf die ersten beiden Keplerschen Gesetze!** * [[http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze]] === Erstes newtonsches Axiom: Das Trägheitsprinzip === Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist. === Zweites newtonsches Axiom: Das Aktionsprinzip === Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. === Drittes newtonsches Axiom: Das Reaktionsprinzip === Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio). ==== Erstes keplersches Gesetz (Ellipsensatz) ==== Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse, deren einer Brennpunkt im Schwerezentrum des Systems liegt. Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz, sofern die Masse des Zentralkörpers wesentlich größer als die der Trabanten ist und die Wechselwirkung der Trabanten untereinander vernachlässigt werden kann. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung sind Kegelschnitte, die Keplerbahnen. Dies sind im Falle geschlossener Bahnen Ellipsen. Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen werden Bahnstörungen genannt. Sie kommen zustande durch die Gravitation der Planeten untereinander und durch ihre Abplattungen, durch die baryzentrische Bewegung der Sonne wegen der Anziehung der Planeten und durch relativistische Effekte: Der Mond zum Beispiel unterliegt aber so starken Einflüssen, dass seine Bahn auch für den freisichtigen Beobachter merklich von der Idealform abweicht. Auch beim Planeten Merkur stellten Astronomen bereits vor langer Zeit eine kleine Abweichung von der Ellipsenform fest. Eine Erklärung dazu lieferte erst die allgemeine Relativitätstheorie. Ein Körper, der nicht gravitativ an das Sonnensystem gebunden ist, also eine zu hohe Geschwindigkeit besitzt, durchläuft es auf einer hyperbolischen Bahn und verlässt es anschließend wieder. ==== Zweites keplersches Gesetz (Flächensatz) ==== In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl Objekt – Gravizentrum gleiche Flächen. Kepler formulierte das Gesetz nur für Planeten und die Sonne, es gilt aber für alle Himmelskörper, auch auf nicht geschlossenen Bahnen. Physikalisch gesehen ist das Zweite Keplergesetz ein Beispiel für den Drehimpulserhaltungssatz. Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Planet bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an der Sonne befindet, und umso langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist. Das Zentrum der Umlaufbahn ist hierbei der gemeinsame Schwerpunkt von Zentralstern und den Trabanten. Der Schwerpunkt der Planenten und der Sonne liegt jedoch noch innerhalb der Sonne: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern „eiert“ ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten (Länge und Breite der Sonne). Andere Einflüsse, wie etwa die gegenseitige Anziehung (Schwerkraft) der einzelnen Planeten untereinander sind weitgehend vernachlässigbar und ergeben erst über Jahre merkliche Abweichungen. ==== Drittes keplersches Gesetz ==== Die Quadrate der Umlaufzeiten (T) je zweier Planetenbahnen sind proportional zu den dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen (a). bzw. die Quadrate der Umlaufzeiten entsprechen den Kuben der großen Halbachsen. (T1/T2)^2 = (a1/a2)^3 ==== weitere Betrachtungen ==== Obwohl die drei Gesetze die Planetenbewegung nur im Zweikörperproblem exakt beschreiben, sind sie generell eine gute Näherung für die Wirklichkeit. Auch für dieses Gesetz gilt das Kosmologisches Prinzip, nachdem es überall im Universum gültig sei, der heliozentrische Fall unseres Sonnensystems ist aber der - für uns - weitaus bedeutendste. Es gilt aber etwa auch für Monde und Satelliten, den Asteroidengürtel und die Oortsche Wolke oder die Ringe des Jupiter und Saturn. Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper im Rahmen des Dreikörperproblems, so lautet die exakte Formulierung des ///dritten keplerschen Gesetzes//: (T1/T2)^2 = (a1/a2)^3 M+m2 / M+m1 Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Objekte sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse M hat, die von der eines der beiden Trabenten nicht sehr stark abweicht. Dennoch sind die Kepler-Gesetze, und die auf ihnen beruhenden jeweils 6 Bahnelemente, die Grundlage jeder Bahnbestimmung. Kepler verwendete für die Bahnachsen a noch die mittlere Entfernung von der Sonne (im Sinne des Mittels von Periheldistanz und Apheldistanz). Heute benutzt man geeignete Definitionen eines mittleren Objekts. In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält man unmittelbar die Bahnperiode T eines Trabanten. **So wie ich das dritte keplersche Gesetz (von der Harmonie der Welt) verstehe, hat er damit möglicherweise die selben Zusammenhänge beschrieben, wie sie neuerdings auch in "Global Scalling" (etwas verständlicher) beschrieben werden.** === Kepler-Konstante (Mathematischer Kern des 3. keplerschen Gesetzes) === (Das bezeichne ich als die spezielle Form.) "... Danach ist das Verhältnis der dritten Potenz der durchschnittlichen Entfernung eines Planeten von der Sonne, d, zum Quadrat seiner Umlaufzeit stets unveränderlich: d³/T² ist für alle Planeten gleich. ..." T = siderische Umlaufzeit in trop. Jahren d = große Halbachse in astronomischen Einheiten (Abstand Erde–Sonne) Die Kepler-Konstante C besteht aus dem Quotienten des Quadrates der Umlaufzeit eines Himmelskörpers und der dritten Potenz der großen Halbachse seiner Umlaufbahn. C=T²/a³ Dieser Quotient ist für ein Zentralobjekt konstant. Für die Sonne als Zentralgestirn gilt: C(Sonne) = 2,97 * 10^(-34) * (a²/m³) a: Jahr m: Meter Kennt man die Kepler-Konstante, kann man einfach die Umlaufzeit oder die große Halbachse eines Planeten berechnen, wenn man das jeweils andere kennt. Oft werden Planetenbahnen vereinfacht als Kreisbahnen betrachtet und die große Halbachse mit dem Radius gleichgesetzt. In Formelsammlungen ist die Konstante für die Sonne als Zentralgestirn gegeben, die nur dann angewendet werden darf, wenn die Sonne auch das Zentralgestirn ist. Geht es hingegen zum Beispiel um künstliche Satelliten, die die Erde umkreisen, müsste man große Halbachse und Umlaufzeit des Mondes für die Berechnung verwenden. Dieser Wert würde dann auch für den Satellit gelten. Die Keplersche Formel geht aber von der idealiserten Annahme aus, die Masse des Himmelskörpers wäre gegenüber der des Zentralkörpers vernachlässigbar gering. Tatsächlich aber kreist der Mond – und die Erde – um den gemeinsamen Schwerpunkt, der sich aus dem relevanten Massenverhältnis ergibt. Die Situation Erde–Satellit aber entspricht der Modellannahme, daher führt in diesem Fall die Berechnung über den Erdmond nicht zum Ziel. Näheres Hierzu siehe im Artikel Satellitenbahnelement. === Keplers Gesetz von der Harmonie der Welt (Harmonices Mundi) === (Die allgemeine Form.) "... Kepler sprach in diesem Werk von einem harmonischen Gesetz, da er glaubte, dass es eine musikalische Harmonie enthüllt, die der Schöpfer im Sonnensystem verewigte. Ich fühle mich von einer unaussprechlichen Verzückung ergriffen ob des göttlichen Schauspiels der himmlischen Harmonie. Denn wir sehen hier, wie Gott gleich einem menschlichen Baumeister, der Ordnung und Regel gemäß, an die Grundlegung der Welt herangetreten ist. Keplers Anschauungen entsprachen dem, was man heute als anthropisches Prinzip bezeichnet. ..." === Zur Kristallographie === SchneeflockenFoto: Wilson Bentley vergrößern Schneeflocken Foto: Wilson Bentley Neben den astronomischen Untersuchungen verfasste Kepler einen Aufsatz zur Symmetrie von Schneeflocken. Er entdeckte, dass natürliche Kräfte - nicht nur in Schneeflocken - das Wachstum regulärer geometrischer Strukturen bewirken. Konkret bemerkte er, dass zwar jede Schneeflocke ein einzigartiges Gebilde ist, andererseits Schneeflocken bei einer Drehung um jeweils 60 Grad ihr Aussehen behalten (sechszählige Symmetrie). Dies führte Kepler zu Berechnungen der maximalen Dichte von Kreisanordnungen und Kugelpackungen. Diese frühen Arbeiten fanden in der Neuzeit unter anderem Anwendung in der Kristallographie sowie in der Kodierungstheorie, einem Teilgebiet der Nachrichtentechnik. Kepler vermutete, dass die dichteste Art, Kugeln aufzustapeln, darin besteht, sie pyramidenförmig übereinander anzuordnen. Dies mathematisch zu beweisen wurde von Mathematikern 400 Jahre lang vergeblich versucht. (Am 8. August 1998 kündigte der Mathematiker Thomas Hales einen Beweis für Keplers Vermutung an. Auf Grund der Komplexität des Computerbeweises steht eine endgültige Überprüfung trotz jahrelanger Bemühungen angesehener Gutachter noch aus.) ==== Literatur ==== === erstes und zweites Keplersches Gesetz === * Johannes Kepler: Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis. Hrsg. Max Caspar. In: Gesammelte Werke. Band 3. C. H. Beck. München, 1938. === drittes Keplersches Gesetz === * Johannes Kepler: Harmonices Mundi libri V. Hrsg. Max Caspar. In: Gesammelte Werke. Band 6. C. H. Beck. München, 1940 / 1990. ISBN 3-406-01648-0 [[http://www.amazon.de/Weltharmonik-Johannes-Kepler/dp/3486580469/sr=1-8/qid=1164118418/ref=sr_1_8/028-6111501-4942951?ie=UTF8&s=books]] * Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4