====== Mathematik ====== {{ :bilder:phi.png?600 |Der Goldene Schnitt - Phi - φ = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752...}} arabische Ziffern (//werden von den Europäern verwendet//): 1234567890 indische Ziffern (//werden von den Arabern verwendet//): ١٢٣٤٥٦٧٨٩٠ Eine gute Näherung für "''Wurzel aus 2''" ist der Bruch ''1055 / 746''. * [[https://studyflix.de/mathematik/sinus-2050|studyflix]] * [[allgemeines Dreieck]] * [[73 ist die beste Zahl der Welt]] * [[Die magische Zahl 1089]] * [[http://www.focus.de/wissen/videos/2-2-5-das-ist-die-loesung-des-raetsels_id_4990306.html|2+2=5]] * [[https://www.youtube.com/watch?v=3-AZi97nBp0|Mysterium der Mathematik]] * [[http://motherboard.vice.com/de/read/das-internet-hat-entschieden-das-sind-die-drei-elegantesten-gleichungen-des-universums-364?trk_source=recommended|Internet hat entschieden: Das sind die elegantesten Gleichungen des Universums]] - 07. April 2016 - Dirac-Gleichung - Eulersche Identität - Pi ~ 3,1416 ~ 22/7 ~ 355/113 * ausgewählte Bezeichnungen * ''irrationale'' Zahlen kann man nicht als Bruch darstellen * ''transzendente'' Zahlen kann man nicht als Gleichung darstellen * elektronische Rechenmaschine mit mechanischem Schallspeicher * [[https://youtu.be/NPP3FWcTF4w?list=PLwa_XfY-IOcXyX2zD402eRMSfI0zEpy2t|Retro Computer / Tischrechner: ISKRA 111 (der Shibari Computer)]] * [[https://youtu.be/PnSiT3SpfQ8|Retro Tischrechner: Soemtron ETR220 (ohne IC, nur mit Transistoren, Dioden und Kernspeicher)]] / [[https://www.soemtron.org/soemtron220.html|Soemtron ETR220]] ===== Zinseszinsrechnung ===== Zu welchem Zinssatz "Z" muß man sein Kapital, für eine Verdopplung nach 9 Jahren, anlegen? Z = 2^(1/9) = 1,08006 = 8,006 % Auf welchen Betrag "B" vergrößert sich das Kapital (von 1000 €), wenn man es mit 8,006% für 9 Jahre anlegt? B = 1000 * 1,08006^9 = 2000 € Nach wieviel Jahren "J" hat sich das Kapital Verdopplung, wenn es mit 8,006% angelegt wird? J = log(2) / log(1,08006) = 9 Jahre J = ln(2) / ln(1,08006) = 9 Jahre ===== Logarithmus ===== dezimaler Logarithmus (und rückwärts): 10^4 = 10000 log(10000) = 4 wenn ein Programm nur den natürlichen Logarithmus "''ln(x)''" berechnen kann (wie z.B. das Komandozeilenwerkzeug "''bc''"), man aber den dezimaler Logarithmus "''log(x)''" berechnen möchte, dann kann man das wie folgt tun: ln(10000)/ln(10) = 4 > echo "l(10000)/l(10)" | bc -l 4.00000000000000000000 ===== Produkte ===== ==== Skalarprodukt ==== * [[https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt]] * Ein Skalar ist ein einfacher Zahlenwert: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Skalar_(Mathematik)]] ==== Kreuzprodukt/Vektorprodukt ==== * [[https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt]] ==== Implementierung in einem Programm ==== const a = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]; const b = ["a", "b", "c", "d", "e", "f"]; console.info(`%c A = ${a}`, "color: blue"); console.info(a); console.info(`%c B = ${b}`, "color: blue"); console.info(b); let result; // skalarprodukt result = a.length * b.length; console.info("%c Skalarprodukt: Anzahl der Elemente von A mal Anzahl der Elemente von B", "color: red"); console.info(`%c |A| * |B| = ${result}`, "color: blue"); // kreuzprodukt/vektorprodukt result = new Array(); for (const i of a) { for (const j of b) { result.push(`${i}${j}`) } } console.info("%c Kreuzprodukt/Vektorprodukt: Jedes Element von A kombiniert mit jedem Element von B", "color: red"); console.info(`%c A x B = ${result}`, "color: blue"); console.info(result); console.info(`%c |A x B| = ${result.length}`, "color: blue"); Den Code in die DevTools Konsole einfügen oder mit Deno (oder einer anderen JS runtime z.B. NodeJS) ausführen $ deno run math-product.js ===== rechtwinkliges Dreieck berechnen ===== a = Kathete = c * sin Alpha = c * cos Beta b = Kathete = c * sin Beta = c * cos Alpha c = Hypothenuse = a / sin Alpha = b / sin Beta = a / cos Beta = b / cos Alpha {{:bilder:rechtwinkliges_dreieck_berechnen.png?800 |}} {{:bilder:sinus_und_kosinus_am_einheitskreis_1.svg?450 |}} ===== Primzahlen ===== #!/bin/sh #==============================================================================# # Primzahlen ausgeben #==============================================================================# if [ x = "x${2}" ] ; then VON="1" BIS="120" else VON="${1}" BIS="${2}" fi #------------------------------------------------------------------------------# echo " bc << 'EOF' define is_prime(n) { if (n <= 1) return 0 if (n <= 3) return 1 if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return 0 i = 5 while (i * i <= n) { if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return 0 i += 6 } return 1 } define print_primes(min,max) { print \"Primzahlen von 1 bis \", max, \" in verschiedenen Basen:\n\" print \"========================================================\n\" print \" Basis 12 | Basis 10 | Basis 7 | Basis 5 | Basis 3 | Basis 2 |\n\" print \"|----------|----------|----------|----------|----------|----------|\n\" for (n = min; n <= max; n++) { if (is_prime(n)) { print \" \"; obase=12; print n, \" \"; obase=10; print n, \" \"; obase=7; print n, \" \"; obase=5; print n, \" \"; obase=3; print n, \" \"; obase=2; print n, \" \"; print \"\n\" } } } print_primes(${VON},${BIS}) quit EOF " | bash #------------------------------------------------------------------------------# > /cifs/bin/Primzahlen_bc.sh Primzahlen von 1 bis 120 in verschiedenen Basen: ======================================================== Basis 12 | Basis 10 | Basis 7 | Basis 5 | Basis 3 | Basis 2 | |----------|----------|----------|----------|----------|----------| 2 2 2 2 2 10 3 3 3 3 10 11 5 5 5 10 12 101 7 7 10 12 21 111 B 11 14 21 102 1011 11 13 16 23 111 1101 15 17 23 32 122 10001 17 19 25 34 201 10011 1B 23 32 43 212 10111 25 29 41 104 1002 11101 27 31 43 111 1011 11111 31 37 52 122 1101 100101 35 41 56 131 1112 101001 37 43 61 133 1121 101011 3B 47 65 142 1202 101111 45 53 104 203 1222 110101 4B 59 113 214 2012 111011 51 61 115 221 2021 111101 57 67 124 232 2111 1000011 5B 71 131 241 2122 1000111 61 73 133 243 2201 1001001 67 79 142 304 2221 1001111 6B 83 146 313 10002 1010011 75 89 155 324 10022 1011001 81 97 166 342 10121 1100001 85 101 203 401 10202 1100101 87 103 205 403 10211 1100111 8B 107 212 412 10222 1101011 91 109 214 414 11001 1101101 95 113 221 423 11012 1110001 0 # # nur wann es eine Primzahl ist, wird die Zahl ausgegeben # # echo "11" | bc -q ${0} define is_prime(n) { if (n <= 1) return 0 if (n <= 3) return 1 if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return 0 i = 5 while (i * i <= n) { if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return 0 i += 6 } return 1 } # Lese die Eingabe und teste sie n = read() if (is_prime(n)) { print n, "\n" } obase = read(); n = read(); print n; print "\n" #!/bin/sh #==============================================================================# # Primzahlen n verschiedenen Basen ausgeben #==============================================================================# if [ x = "x${2}" ] ; then VON="1" BIS="120" else VON="${1}" shift BIS="${1}" shift BASIS_LISTE="${@}" fi if [ x = "x${BASIS_LISTE}" ] ; then BASIS_LISTE="12 10 7 5 3 2" fi VERZ="$(dirname "${0}")" #------------------------------------------------------------------------------# BREIT_1="$(echo "Basis $(echo "${BASIS_LISTE}" | tr -s ' ' '\n' | sort -nr | head -n1)" | wc -m | awk '{print $1 + 2}')" BREIT_2="$(echo "$(echo "${BASIS_LISTE}" | tr -s ' ' '\n' | sort -n | head -n1) ${BIS}" | tr ' ' '\n' | bc -lq ${VERZ}/Zahlenbasis.bc | wc -m | awk '{print $1 + 2}')" BREIT_3="$(echo "${BREIT_1} ${BREIT_2}" | tr -s ' ' '\n' | sort -nr | head -n1 | awk '{print $1}')" BREIT_4="$(echo "${BREIT_3}" | awk '{print $1 - 1}')" #echo "BREIT_1='${BREIT_1}'" #echo "BREIT_2='${BREIT_2}'" #echo "BREIT_3='${BREIT_3}'" #echo "BREIT_4='${BREIT_4}'" #------------------------------------------------------------------------------# KOPF_1="$(for A in ${BASIS_LISTE} do for B in $(seq -w 1 ${BREIT_4}) do echo "-" done echo "+" done | tr -d '\n' | sed 's/.*/+&/' echo)" #------------------------------------------------------------------------------# KOPF_2="$(for C in ${BASIS_LISTE} do echo " Basis ${C} " done | cut -b-${BREIT_4} | tr -s '\n' '|' | sed 's/.*/|&/' echo)" #------------------------------------------------------------------------------# echo "Primzahlen ${VON} bis ${BIS} in verschiedenen Basen:" echo "${KOPF_1}" echo "${KOPF_2}" echo "${KOPF_1}" #------------------------------------------------------------------------------# for NZ in $(seq -w ${VON} ${BIS}) do echo "${NZ}" | bc -q ${VERZ}/Primzahlenausgabe.bc done | while read PZ do for DIE_BASIS in ${BASIS_LISTE} do echo "${DIE_BASIS} ${PZ}" | tr ' ' '\n' | bc -lq ${VERZ}/Zahlenbasis.bc done | sed 's/.*/ & /' | rev | cut -b-${BREIT_4} | rev | tr -s '\n' '|' | sed 's/.*/|&/' echo done echo "${KOPF_1}" #------------------------------------------------------------------------------# > ./Primzahlen_bc+bash.sh 100 120 Primzahlen 100 bis 120 Primzahl in verschiedenen Basen: +----------+----------+----------+----------+----------+----------+ | Basis 12 | Basis 10 | Basis 7 | Basis 5 | Basis 3 | Basis 2 | +----------+----------+----------+----------+----------+----------+ | 85 | 101 | 203 | 401 | 10202 | 1100101 | | 87 | 103 | 205 | 403 | 10211 | 1100111 | | 8B | 107 | 212 | 412 | 10222 | 1101011 | | 91 | 109 | 214 | 414 | 11001 | 1101101 | | 95 | 113 | 221 | 423 | 11012 | 1110001 | +----------+----------+----------+----------+----------+----------+ ===== Kreiszahl: Pi ===== sehr gute Näherungen für Pi: * **''22'' / ''7'' ~ Pi** * **''355'' / ''113'' ~ Pi** * [[https://www.youtube.com/watch?v=Vv3Rve3yXBY|Was hat Pi mit den Primzahlen zu tun?]] Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben "Pi", um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken. Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben "Pi" für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich. **[[https://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/|Pi]]** auf 51 Stellen hinter dem Komma genau: **Pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510**... Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von "Pi" keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden. Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern: "Pi" = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …] ==== per Skript ==== [[Pi per Skript berechnen]] ===== Goldener Schnitt (Phi) ===== Durch den [[http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt|Goldenen Schnitt]], //Goldene Zahl//, //Phi// oder auch //göttliche Teilung// wird ein Zahlenwert bezeichnet, den man in der Natur vielerorts wieder findet. Die //Phi// ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl|irrationale Zahl]], das heißt sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch algebraisch vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. * __Goldene Zahl__ = [[https://www.geocachingtoolbox.com/index.php?lang=de&page=goldenRatio|φ = 1,6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752...]] * Phi = ''987'' / ''610'' = ''**1,61803**2787'' //(auf **5** Nachstellen genau)// * Phi = ''6765'' / ''4181'' = ''**1,6180339**63'' //(auf **7** Nachstellen genau)// * Phi = ''(1 + sqrt(5)) / 2'' = ''(1 + (5^(1/2))) / 2'' = ''**1,61803398**9'' //(auf **8** Nachstellen genau)// Es ist aber auch möglich, die //Phi// aus zwei aufeinander folgenden Zahlen der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge|Fibonacci-Folge]] zu errechnen. Je größer die gewählten Zahlen aus der [[http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/zahlen/dergoldeneschnitt.html#5|Fibonacci-Folge]] sind, desto genauer ist das Ergebnis. 1/Phi = Phi - 1 Phi² = Phi + 1 ==== Phi per Skript berechnen ==== [[Phi per Skript berechnen]] ===== Ägyptische Brüche ===== Die Ägypter hatten (außer für 2/3) nur Zeichen für Stammbrüchen und haben demnach nur in Stammbrüchen gerechnet: * [[https://www.youtube.com/watch?v=vWz5d6FZsbk|Ägyptische Brüche (und zwei ungelöste mathematische Probleme)]] {{ :bilder:zerlegung_in_stammbrueche.png?400 |Zerlegung in Stammbrüche}} => ''20/21 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/126''\\ oder\\ => ''20/21 = 1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/21'' #!/usr/bin/python3 from fractions import Fraction def greedy (x, forceOdd = False): L = [] print(str(x) + " = ", end = "") while x > 0: inv = Fraction(1) / x u = int(inv) if u < inv: u += 1 if forceOdd and u % 2 == 0: u += 1 f = Fraction(1, u) L.append(f) x -= f print(" + ".join(map(str, L))) print (greedy(Fraction(20, 21))) print (greedy(Fraction(20, 21), True)) 20/21 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/126 20/21 = 1/3 + 1/3 + 1/5 + 1/13 + 1/115 + 1/10465 Mit Hilfe der //Farey-Folge// kann man sympatischere Stammbrüche als Lösung finden. ===== Fibonacci-Folge ===== Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge|Fibonacci-Folge]] ist eine unendliche Folge von Zahlen (den Fibonacci-Zahlen), bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition der beiden vorherigen Zahlen ergibt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Benannt ist sie nach Leonardo Fibonacci, der damit 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Reihe war aber schon in der indischen und westlichen Antike bekannt. ===== n-te Fibonacci-Zahl ===== C# Programm (sehr ähnlich in Java) using System; using System.Collections.Generic; Test(7); static void Test(int n) { var passed = 0; var failed = new List(); for (var i = -1; i <= n; i++) { var (a, b, c) = (Fibonacci1(i), Fibonacci2(i), Fibonacci3(i)); if (a == b && a == c) passed++; else failed.Add(i); Console.WriteLine($"Fibonacci1({i}) = {c}"); Console.WriteLine($"Fibonacci2({i}) = {b}"); Console.WriteLine($"Fibonacci3({i}) = {c}"); } Console.WriteLine($"\nTest passed: {passed}/{n + 2}"); Console.WriteLine($"Test failed: {(failed.Count != 0 ? failed.ToArray() : 0)}\n"); } static int Fibonacci1(int n) { if (n < 0) return -1; var (x, y, z) = (0, 1, 0); for (var i = 0; i < n; i++) { z = x; x += y; y = z; } return x; } static int Fibonacci2(int n) { if (n < 0) return -1; return (n <= 1) ? n : Fibonacci2(n - 2) + Fibonacci2(n - 1); } static int Fibonacci3(int n) { var sqrt5 = Math.Sqrt(5); if (n < 0) return -1; return Convert.ToInt32(Math.Round((Math.Pow(((1 + sqrt5) / 2), n) - (Math.Pow(((1 - sqrt5) / 2), n))) / sqrt5)); } ==== Fibonacci-Folge per Skript berechnen ==== [[Fibonacci-Folge per Skript berechnen]] ===== Zusammenhang zwischen Pi, Phi und der Fibonacci-Folge ===== siehe auch: [[https://www.youtube.com/watch?v=LDoKsw3SOdw|Der goldene Schnitt und die Fibonacci-Folge]] In dem Video [[https://www.youtube.com/watch?v=EeOgWNdojRA|Die Pyramiden Lüge]] habe ich erfahren, dass das **//Quadrat von Phi = 5/6 von Pi//** ist und da ich ja bereits weiß, wie man Phi aus der Fibonacci-Folge berechnet, kann ich den genauen Zusammenhang hier demonstrieren. Als erstes benötigen wir zwei sehr große aufeinander folgende Zahlen aus der Fibonacci-Reihe, ich nenne sie hier "f" und "g". In diesem Beispiel soll "f" die 49. und "g" die 50. Zahl aus der [[https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge|Fibonacci-Folge]] sein. f = 7778742049 g = 12586269025 daraus kann man //Phi// berechnen: Phi = 12586269025 / 7778742049 Phi = 1,61803398875 jetzt brauchen wir das Quadrat von //Phi//: Phi * Phi = 1,61803398875² = 2,61803398875 und daraus können wir jetzt //Pi// berechnen: Pi = Phi * Phi * 6 / 5 = 3,1416407865 Die Genauigkeit ist natürlich höher, je größer die verwendeten Zahlen aus der Fibonacci-Folge sind. Weil es Mathematik ist, geht es auch rückwärts: Pi = 3.14159265358979323846264338327950... leider rechnet mein Taschenrechner aber nur mit dieser Genauigkeit: Pi = 3,141592654 und so sieht die Berechnung dann in einem Stück aus: Phi² = Pi * 5 / 6 Phi² = 3,141592654 * 5 / 6 Phi² = 15,707963268 / 6 Phi² = 2,617993878 Phi = Wurzel(2,617993878) Phi = 1,618021594 **Also, ich finde es sehr bemerkenswert, dass man aus einer sehr einfach zu erstellenden //Fibonacci-Folge//, mit einer sehr einfachen Formel, sowohl //Phi// als auch //Pi// berechnen kann. Ebenso bemerkenswert finde ich, dass es zwischen //Pi// und //Phi// einen so einfachen mathematischen Zusammenhang gibt.** ===== eulersche Zahl ===== **[[http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl|eulersche Zahl]]: e = 2,718281828459**... Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins Unendliche fortsetzt: e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,...] ==== eulersche Zahl per Skript berechnen ==== #!/bin/bash GENAUIGKEIT="64" if [ "$(uname -s)" = "FreeBSD" ] ; then B="tail -r" elif [ "$(uname -s)" = "Linux" ] ; then B="tac" else echo "Dieses System wird nicht unterstützt" exit 1 fi echo "2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1" \ | tr -s '[;,]' '\n' \ | ${B} \ | while read ZAHL do if [ -z "${FORMEL}" ] ; then FORMEL="${ZAHL}" else FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})" fi echo "${FORMEL}" done | tail -n1 | sed -e "s/.*/scale=${GENAUIGKEIT};&/" | bc -l 2.7182818284642508923782694452544440585600629510636232896063239753 ===== 37-%-Regel ===== Die von Geoffrey Miller beschriebene Regel besagt nun: Man untersuche 37 % der Elemente der gegebenen Menge und finde darin das optimale Element. Dann untersucht man weiter einzelne Elemente, bis man ein Element findet, das besser ist als das bisher gefundene Optimum. Dieses Element wählt man. Bekannt wurde die 37-%-Regel vor allem durch Geoffrey Miller, der sie in seinem Buch The Mating Mind als mögliches Verfahren für die Partnerauswahl beschreibt. Zurück geht die Regel auf das sogenannte Sekretärinnenproblem, für das Eugene Dynkin in einer Arbeit aus dem Jahr 1963 (also zwei Jahre vor der Geburt von Miller) die 1/e-Regel bewies: E. Dynkin, Optimal choice of the stopping time of a Markov process, DAN150, 2 (1963), 238-240 (Original in russisch). Es ist gerundet 1/e = 37 %. ===== Kettenbruchentwicklung ===== Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da "Pi" irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang. //Euler// fand heraus, dass periodische Kettenbrüche (so wie bei der Quadratwurzel von 2 oder bei der goldenen Zahl) quadratischen Irrationalzahlen entsprechen, und //Lagrange// zeigte später, dass alle diese Zahlen periodische Kettenbrüche haben. [[http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/zahlen/dergoldeneschnitt.html#5|Man kann beweisen, dass jeder unendliche Kettenbruch konvergiert.]] Ganz ähnlich, wie man reelle Zahlen durch Dezimalzahlen darstellt, kann man weiter zeigen, dass * die Zuordnung Kettenbruch <--> reelle Zahl bijektiv ist (d.h. zu jeder reellen Zahl es genau einen Kettenbruch gibt, der sie darstellt und umgekehrt) * und die endlichen Kettenbrüche gerade zu den rationalen Zahlen gehören. ==== Kettenbruch per Skript ==== Aus den oben genannten Kettenbruch-Zahlenwerten für "Pi", baut dieses Script den entsprechenden Kettenbruch zusammen: #!/bin/bash if [ "$(uname -s)" = "FreeBSD" ] ; then B="tail -r" elif [ "$(uname -s)" = "Linux" ] ; then B="tac" else echo "Dieses System wird nicht unterstützt" exit 1 fi echo "3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4" \ | tr -s '[;,]' '\n' \ | ${B} \ | while read ZAHL do if [ -z "${FORMEL}" ] ; then FORMEL="${ZAHL}" else FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})" fi echo "${FORMEL}" done | tail -n1 (3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(2+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(1+1/(84+1/(2+1/(1+1/(1+1/(15+1/(3+1/(13+1/(1+1/(4+1/(2+1/(6+1/(6+1/(99+1/(1+1/(2+1/(2+1/(6+1/(3+1/(5+1/(1+1/(1+1/(6+1/(8+1/(1+1/(7+1/(1+1/(2+1/(3+1/(7+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(1+1/(1+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(3+1/(1+1/(2+1/(4+1/(4+1/(16+1/(1+1/(161+1/(45+1/(1+1/(22+1/(1+1/(2+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(2+1/(24+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(10+1/(2+1/(5+1/(4+1/(1+1/(2+1/(2+1/(8+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(26+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(8+1/(2+1/(42+1/(2+1/(1+1/(7+1/(3+1/(3+1/(1+1/(1+1/(7+1/(2+1/(4+1/(9+1/(7+1/(2+1/(3+1/(1+1/(57+1/(1+1/(18+1/(1+1/(9+1/(19+1/(1+1/(2+1/(18+1/(1+1/(3+1/(7+1/(30+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(3+1/(1+1/(2+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(15+1/(1+1/(2+1/(13+1/(1+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(28+1/(1+1/(10+1/(3+1/(2+1/(20+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(5+1/(3+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/4)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ===== Pentagonhexakontaeder ===== Das [[http://de.wikipedia.org/wiki/Pentagonhexakontaeder|Pentagonhexakontaeder]] ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten. Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder. {{Pentagonhexakontaeder.jpg?120x119}} Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius. ---- Ich finde diesen geometrischen Körper deshalb so interessant, weil hier ein kugelähnlicher 3D-Körper aus nur einer einzigen 2D-Geometrie besteht. Normalerweise ist es üblich mindestens zwei verschiedene 2D-Geometrie zum erstellen eines kugelähnlicher Gebildes zu verwenden. Ein Fußball zum Beispiel besteht aus gleichseitigen 5-Ecken und 6-Ecken, auch ist es üblich 5-Ecke zusammen mit gleichseitigen 3-Ecken zu verwenden. Hier wird aber nur eine einzige Geometrie verwendet. ===== Kleinstes gemeinsames Vielfaches ===== #!/bin/bash #------------------------------------------------------------------------------# # # Kleinstes gemeinsames Vielfaches # #------------------------------------------------------------------------------# LANG=C STOP=nein V=1 #set -x while [ "${STOP}" = "nein" ] do V="$(echo "${V}" | awk '{print $1 + 1}')" R0="" TEST=ja for i in ${@} do R1="$(echo "${V} ${i}" | awk '{print $1/$2}')" R2="$(echo "${R1}" | egrep -v '[.].*[^0]')" if [ "x${R2}" = x ] ; then TEST=nein else R0="${R0} ${i}*${R2}=${V}," fi done if [ "${TEST}" = "ja" ] ; then STOP=ja echo "# ${R0}" fi done > ./kgV.sh 5 6 7 # 5*42=210, 6*35=210, 7*30=210, ===== Riemannsche Vermutung (Die Riemann-Hypotese) ===== * [[https://youtu.be/sZhl6PyTflw?t=3753|Riemannsche Vermutung]] * [[https://youtu.be/qeCqjJpqbls?t=38|Die Riemann-Hypotese]]