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mathematik

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mathematik [2025-08-31 22:29:58] – [Primzahlen] manfredmathematik [2025-09-01 00:16:21] (aktuell) – [Primzahlen] manfred
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 +====== Mathematik ======
 +
 +{{ :bilder:phi.png?600 |Der Goldene Schnitt - Phi - φ = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752...}}
 +
 +  arabische Ziffern (//werden von den Europäern verwendet//): 1234567890
 +  indische Ziffern (//werden von den Arabern verwendet//): ١٢٣٤٥٦٧٨٩٠
 +
 +Eine gute Näherung für "''Wurzel aus 2''" ist der Bruch ''1055 / 746''.
 +
 +  * [[https://studyflix.de/mathematik/sinus-2050|studyflix]]
 +  * [[allgemeines Dreieck]]
 +  * [[73 ist die beste Zahl der Welt]]
 +  * [[Die magische Zahl 1089]]
 +  * [[http://www.focus.de/wissen/videos/2-2-5-das-ist-die-loesung-des-raetsels_id_4990306.html|2+2=5]]
 +  * [[https://www.youtube.com/watch?v=3-AZi97nBp0|Mysterium der Mathematik]]
 +  * [[http://motherboard.vice.com/de/read/das-internet-hat-entschieden-das-sind-die-drei-elegantesten-gleichungen-des-universums-364?trk_source=recommended|Internet hat entschieden: Das sind die elegantesten Gleichungen des Universums]] - 07. April 2016
 +    - Dirac-Gleichung
 +    - Eulersche Identität
 +    - Pi ~ 3,1416 ~ 22/7 ~ 355/113
 +  * ausgewählte Bezeichnungen
 +    * ''irrationale'' Zahlen kann man nicht als Bruch darstellen
 +    * ''transzendente'' Zahlen kann man nicht als Gleichung darstellen
 +
 +  * elektronische Rechenmaschine mit mechanischem Schallspeicher
 +    * [[https://youtu.be/NPP3FWcTF4w?list=PLwa_XfY-IOcXyX2zD402eRMSfI0zEpy2t|Retro Computer / Tischrechner: ISKRA 111 (der Shibari Computer)]]
 +    * [[https://youtu.be/PnSiT3SpfQ8|Retro Tischrechner: Soemtron ETR220 (ohne IC, nur mit Transistoren, Dioden und Kernspeicher)]] / [[https://www.soemtron.org/soemtron220.html|Soemtron ETR220]]
 +
 +
 +===== Zinseszinsrechnung =====
 +
 +<code>
 +Zu welchem Zinssatz "Z" muß man sein Kapital, für eine Verdopplung nach 9 Jahren, anlegen?
 +Z = 2^(1/9) = 1,08006 = 8,006 %
 +
 +Auf welchen Betrag "B" vergrößert sich das Kapital (von 1000 €), wenn man es mit 8,006% für 9 Jahre anlegt?
 +B = 1000 * 1,08006^9 = 2000 €
 +
 +Nach wieviel Jahren "J" hat sich das Kapital Verdopplung, wenn es mit 8,006% angelegt wird?
 +J = log(2) / log(1,08006) = 9 Jahre
 +J = ln(2)  / ln(1,08006)  = 9 Jahre
 +</code>
 +
 +
 +===== Logarithmus =====
 +
 +dezimaler Logarithmus (und rückwärts):
 +  10^4       = 10000
 +  log(10000) = 4
 +
 +wenn ein Programm nur den natürlichen Logarithmus "''ln(x)''" berechnen kann (wie z.B. das Komandozeilenwerkzeug "''bc''"), man aber den dezimaler Logarithmus "''log(x)''" berechnen möchte,
 +dann kann man das wie folgt tun:
 +  ln(10000)/ln(10) = 4
 +  
 +  > echo "l(10000)/l(10)" | bc -l
 +  4.00000000000000000000
 +
 +
 +===== Produkte =====
 +
 +
 +==== Skalarprodukt ====
 +
 +  * [[https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt]]
 +  * Ein Skalar ist ein einfacher Zahlenwert: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Skalar_(Mathematik)]]
 +
 +
 +==== Kreuzprodukt/Vektorprodukt ====
 +
 +  * [[https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt]]
 +
 +
 +==== Implementierung in einem Programm ====
 +
 +<code javascript math-product.js>
 +const a = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
 +const b = ["a", "b", "c", "d", "e", "f"];
 +
 +console.info(`%c A = ${a}`, "color: blue");
 +console.info(a);
 +console.info(`%c B = ${b}`, "color: blue");
 +console.info(b);
 +
 +let result;
 +
 +// skalarprodukt
 +result = a.length * b.length;
 +console.info("%c Skalarprodukt: Anzahl der Elemente von A mal Anzahl der Elemente von B", "color: red");
 +console.info(`%c |A| * |B| = ${result}`, "color: blue");
 +
 +// kreuzprodukt/vektorprodukt
 +result = new Array();
 +for (const i of a) {
 +    for (const j of b) {
 +        result.push(`${i}${j}`)
 +    }
 +}
 +console.info("%c Kreuzprodukt/Vektorprodukt: Jedes Element von A kombiniert mit jedem Element von B", "color: red");
 +console.info(`%c A x B = ${result}`, "color: blue");
 +console.info(result);
 +console.info(`%c |A x B| = ${result.length}`, "color: blue");
 +</code>
 +
 +Den Code in die DevTools Konsole einfügen oder mit Deno (oder einer anderen JS runtime z.B. NodeJS) ausführen
 +  $ deno run math-product.js
 +
 +
 +===== rechtwinkliges Dreieck berechnen =====
 +
 +  a  =  Kathete      =  c * sin Alpha  =  c * cos Beta
 +  b  =  Kathete      =  c * sin Beta   =  c * cos Alpha
 +  c  =  Hypothenuse  =  a / sin Alpha  =  b / sin Beta   =  a / cos Beta  =  b / cos Alpha
 +
 +{{:bilder:rechtwinkliges_dreieck_berechnen.png?800 |}}
 +{{:bilder:sinus_und_kosinus_am_einheitskreis_1.svg?450 |}}
 +
 +
 +===== Primzahlen =====
 +
 +<code c Primzahlen_bc.sh>
 +#!/bin/sh
 +
 +#==============================================================================#
 +# Primzahlen ausgeben
 +#==============================================================================#
 +
 +if [ x = "x${2}" ] ; then
 + VON="1"
 + BIS="120"
 +else
 + VON="${1}"
 + BIS="${2}"
 +fi
 +
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +
 +echo "
 +bc << 'EOF'
 +define is_prime(n) {
 + if (n <= 1) return 0
 + if (n <= 3) return 1
 + if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return 0
 +    
 + i = 5
 + while (i * i <= n) {
 + if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return 0
 + i += 6
 + }
 + return 1
 +}
 +
 +define print_primes(min,max) {
 + print \"Primzahlen von 1 bis \", max, \" in verschiedenen Basen:\n\"
 + print \"========================================================\n\"
 + print \"  Basis 12 | Basis 10 | Basis 7  | Basis 5  | Basis 3  | Basis 2  |\n\"
 + print \"|----------|----------|----------|----------|----------|----------|\n\"
 + for (n = min; n <= max; n++) {
 + if (is_prime(n)) {
 + print \"   \";
 +
 + obase=12;
 + print n, \"       \";
 +
 + obase=10;
 + print n, \"       \";
 +
 + obase=7;
 + print n, \"       \";
 +
 + obase=5;
 + print n, \"       \";
 +
 + obase=3;
 + print n, \"       \";
 +
 + obase=2;
 + print n, \"       \";
 +
 + print \"\n\"
 + }
 + }
 +}
 +
 +print_primes(${VON},${BIS})
 +quit
 +EOF
 +" | bash
 +
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +</code>
 +
 +<code bash>
 +> /cifs/bin/Primzahlen_bc.sh 
 +Primzahlen von 1 bis 120 in verschiedenen Basen:
 +========================================================
 +  Basis 12 | Basis 10 | Basis 7  | Basis 5  | Basis 3  | Basis 2  |
 +|----------|----------|----------|----------|----------|----------|
 +   2       2       2       2       2       10       
 +   3       3       3       3       10       11       
 +   5       5       5       10       12       101       
 +   7       7       10       12       21       111       
 +   B       11       14       21       102       1011       
 +   11       13       16       23       111       1101       
 +   15       17       23       32       122       10001       
 +   17       19       25       34       201       10011       
 +   1B       23       32       43       212       10111       
 +   25       29       41       104       1002       11101       
 +   27       31       43       111       1011       11111       
 +   31       37       52       122       1101       100101       
 +   35       41       56       131       1112       101001       
 +   37       43       61       133       1121       101011       
 +   3B       47       65       142       1202       101111       
 +   45       53       104       203       1222       110101       
 +   4B       59       113       214       2012       111011       
 +   51       61       115       221       2021       111101       
 +   57       67       124       232       2111       1000011       
 +   5B       71       131       241       2122       1000111       
 +   61       73       133       243       2201       1001001       
 +   67       79       142       304       2221       1001111       
 +   6B       83       146       313       10002       1010011       
 +   75       89       155       324       10022       1011001       
 +   81       97       166       342       10121       1100001       
 +   85       101       203       401       10202       1100101       
 +   87       103       205       403       10211       1100111       
 +   8B       107       212       412       10222       1101011       
 +   91       109       214       414       11001       1101101       
 +   95       113       221       423       11012       1110001       
 +0
 +</code>
 +
 +<code c Primzahlenausgabe.bc>
 +#
 +# nur wann es eine Primzahl ist, wird die Zahl ausgegeben
 +#
 +# echo "11" | bc -q ${0}
 +define is_prime(n) {
 + if (n <= 1) return 0
 + if (n <= 3) return 1
 + if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return 0
 +    
 + i = 5
 + while (i * i <= n) {
 + if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return 0
 + i += 6
 + }
 + return 1
 +}
 +
 +# Lese die Eingabe und teste sie
 +n = read()
 +if (is_prime(n)) {
 + print n, "\n"
 +}
 +</code>
 +
 +<code c Zahlenbasis.bc>
 +obase = read();
 +n = read();
 +print n;
 +print "\n"
 +</code>
 +
 +<code bash Primzahlen_bc+bash.sh>
 +#!/bin/sh
 +
 +#==============================================================================#
 +# Primzahlen n verschiedenen Basen ausgeben
 +#==============================================================================#
 +
 +if [ x = "x${2}" ] ; then
 + VON="1"
 + BIS="120"
 +else
 + VON="${1}"
 + shift
 + BIS="${1}"
 + shift
 + BASIS_LISTE="${@}"
 +fi
 +
 +if [ x = "x${BASIS_LISTE}" ] ; then
 + BASIS_LISTE="12 10 7 5 3 2"
 +fi
 +
 +VERZ="$(dirname "${0}")"
 +
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +BREIT_1="$(echo "Basis $(echo "${BASIS_LISTE}" | tr -s ' ' '\n' | sort -nr | head -n1)" | wc -m | awk '{print $1 + 2}')"
 +BREIT_2="$(echo "$(echo "${BASIS_LISTE}" | tr -s ' ' '\n' | sort -n | head -n1) ${BIS}" | tr ' ' '\n' | bc -lq ${VERZ}/Zahlenbasis.bc | wc -m | awk '{print $1 + 2}')"
 +BREIT_3="$(echo "${BREIT_1} ${BREIT_2}" | tr -s ' ' '\n' | sort -nr | head -n1 | awk '{print $1}')"
 +BREIT_4="$(echo "${BREIT_3}" | awk '{print $1 - 1}')"
 +#echo "BREIT_1='${BREIT_1}'"
 +#echo "BREIT_2='${BREIT_2}'"
 +#echo "BREIT_3='${BREIT_3}'"
 +#echo "BREIT_4='${BREIT_4}'"
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +KOPF_1="$(for A in ${BASIS_LISTE}
 +do
 + for B in $(seq -w 1 ${BREIT_4})
 + do
 + echo "-"
 + done
 + echo "+"
 +done | tr -d '\n' | sed 's/.*/+&/'
 +echo)"
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +KOPF_2="$(for C in ${BASIS_LISTE}
 +do
 + echo " Basis ${C}                "
 +done | cut -b-${BREIT_4} | tr -s '\n' '|' | sed 's/.*/|&/'
 +echo)"
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +echo "Primzahlen ${VON} bis ${BIS} in verschiedenen Basen:"
 +echo "${KOPF_1}"
 +echo "${KOPF_2}"
 +echo "${KOPF_1}"
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +
 +for NZ in $(seq -w ${VON} ${BIS})
 +do
 + echo "${NZ}" | bc -q ${VERZ}/Primzahlenausgabe.bc
 +done | while read PZ
 +do
 + for DIE_BASIS in ${BASIS_LISTE}
 + do
 + echo "${DIE_BASIS} ${PZ}" | tr ' ' '\n' | bc -lq ${VERZ}/Zahlenbasis.bc
 + done | sed 's/.*/        & /' | rev | cut -b-${BREIT_4} | rev | tr -s '\n' '|' | sed 's/.*/|&/'
 + echo
 +done
 +
 +echo "${KOPF_1}"
 +
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +</code>
 +
 +<code bash>
 +> ./Primzahlen_bc+bash.sh 100 120
 +Primzahlen 100 bis 120
 +Primzahl in verschiedenen Basen:
 ++----------+----------+----------+----------+----------+----------+
 +| Basis 12 | Basis 10 | Basis 7  | Basis 5  | Basis 3  | Basis 2  |
 ++----------+----------+----------+----------+----------+----------+
 +|       85 |      101 |      203 |      401 |    10202 |  1100101 |
 +|       87 |      103 |      205 |      403 |    10211 |  1100111 |
 +|       8B |      107 |      212 |      412 |    10222 |  1101011 |
 +|       91 |      109 |      214 |      414 |    11001 |  1101101 |
 +|       95 |      113 |      221 |      423 |    11012 |  1110001 |
 ++----------+----------+----------+----------+----------+----------+
 +</code>
 +
 +
 +===== Kreiszahl: Pi =====
 +
 +sehr gute Näherungen für Pi:
 +  * **''22'' / ''7'' ~ Pi**
 +  * **''355'' / ''113'' ~ Pi**
 +
 +  * [[https://www.youtube.com/watch?v=Vv3Rve3yXBY|Was hat Pi mit den Primzahlen zu tun?]]
 +
 +Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben "Pi", um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.
 +
 +Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben "Pi" für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.
 +
 +**[[https://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/|Pi]]** auf 51 Stellen hinter dem Komma genau:
 +
 +**Pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510**...
 +
 +
 +Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von "Pi" keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.
 +
 +Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:
 +
 +"Pi" = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]
 +
 +
 +==== per Skript ====
 +
 +[[Pi per Skript berechnen]]
 +
 +
 +===== Goldener Schnitt (Phi) =====
 +
 +Durch den [[http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt|Goldenen Schnitt]], //Goldene Zahl//, //Phi// oder auch //göttliche Teilung// wird ein Zahlenwert bezeichnet,
 +den man in der Natur vielerorts wieder findet.
 +
 +Die //Phi// ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl|irrationale Zahl]], das heißt sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch algebraisch vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.
 +
 +  * __Goldene Zahl__ = [[https://www.geocachingtoolbox.com/index.php?lang=de&page=goldenRatio|φ = 1,6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752...]]
 +    * Phi =  ''987'' /  ''610'' = ''**1,61803**2787'' //(auf **5** Nachstellen genau)//
 +    * Phi = ''6765'' / ''4181'' = ''**1,6180339**63'' //(auf **7** Nachstellen genau)//
 +    * Phi = ''(1 + sqrt(5)) / 2'' = ''(1 + (5^(1/2))) / 2'' = ''**1,61803398**9'' //(auf **8** Nachstellen genau)//
 +
 +Es ist aber auch möglich, die //Phi// aus zwei aufeinander folgenden Zahlen der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge|Fibonacci-Folge]] zu errechnen. Je größer die gewählten Zahlen aus der [[http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/zahlen/dergoldeneschnitt.html#5|Fibonacci-Folge]] sind, desto genauer ist das Ergebnis.
 +
 +  1/Phi = Phi - 1
 +  Phi²  = Phi + 1
 +
 +
 +==== Phi per Skript berechnen ====
 +
 +[[Phi per Skript berechnen]]
 +
 +
 +===== Ägyptische Brüche =====
 +
 +Die Ägypter hatten (außer für 2/3) nur Zeichen für Stammbrüchen und haben demnach nur in Stammbrüchen gerechnet:
 +  * [[https://www.youtube.com/watch?v=vWz5d6FZsbk|Ägyptische Brüche (und zwei ungelöste mathematische Probleme)]]
 +
 +{{ :bilder:zerlegung_in_stammbrueche.png?400 |Zerlegung in Stammbrüche}}
 +
 +=> ''20/21 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/126''\\
 +oder\\
 +=> ''20/21 = 1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/21''
 +
 +<file python zerlegen_in_stammbrueche.py>
 +#!/usr/bin/python3
 +
 +from fractions import Fraction
 +
 +def greedy (x, forceOdd = False):
 +        L = []
 +        print(str(x) + " = ", end = "")
 +        while x > 0:
 +                inv = Fraction(1) / x
 +                u = int(inv)
 +                if u < inv:
 +                        u += 1
 +                if forceOdd and u % 2 == 0:
 +                        u += 1
 +                f = Fraction(1, u)
 +                L.append(f)
 +                x -= f
 +        print(" + ".join(map(str, L)))
 +
 +print (greedy(Fraction(20, 21)))
 +print (greedy(Fraction(20, 21), True))
 +</file>
 +
 +  20/21 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/126
 +  20/21 = 1/3 + 1/3 + 1/5 + 1/13 + 1/115 + 1/10465
 +
 +Mit Hilfe der //Farey-Folge// kann man sympatischere Stammbrüche als Lösung finden.
 +
 +
 +===== Fibonacci-Folge =====
 +
 +Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge|Fibonacci-Folge]] ist eine unendliche Folge  von Zahlen (den Fibonacci-Zahlen), bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition der beiden vorherigen Zahlen ergibt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Benannt ist sie nach Leonardo Fibonacci, der damit 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Reihe war aber schon in der indischen und westlichen Antike bekannt.
 +
 +=====  n-te Fibonacci-Zahl =====
 +
 +C# Programm (sehr ähnlich in Java)
 +
 +<code csharp>
 +using System;
 +using System.Collections.Generic;
 +
 +Test(7);
 +
 +static void Test(int n)
 +{
 +    var passed = 0;
 +    var failed = new List<int>();
 +    for (var i = -1; i <= n; i++)
 +    {
 +        var (a, b, c) = (Fibonacci1(i), Fibonacci2(i), Fibonacci3(i));
 +        if (a == b && a == c) passed++;
 +        else failed.Add(i);
 +
 +        Console.WriteLine($"Fibonacci1({i}) = {c}");
 +        Console.WriteLine($"Fibonacci2({i}) = {b}");
 +        Console.WriteLine($"Fibonacci3({i}) = {c}");
 +    }
 +    Console.WriteLine($"\nTest passed: {passed}/{n + 2}");
 +    Console.WriteLine($"Test failed: {(failed.Count != 0 ? failed.ToArray() : 0)}\n");
 +}
 +
 +static int Fibonacci1(int n)
 +{
 +    if (n < 0) return -1;
 +    var (x, y, z) = (0, 1, 0);
 +    for (var i = 0; i < n; i++)
 +    {
 +        z = x;
 +        x += y;
 +        y = z;
 +    }
 +    return x;
 +}
 +
 +static int Fibonacci2(int n)
 +{
 +    if (n < 0) return -1;
 +    return (n <= 1) ? n : Fibonacci2(n - 2) + Fibonacci2(n - 1);
 +}
 +
 +static int Fibonacci3(int n)
 +{
 +    var sqrt5 = Math.Sqrt(5);
 +    if (n < 0) return -1;
 +    return Convert.ToInt32(Math.Round((Math.Pow(((1 + sqrt5) / 2), n) - (Math.Pow(((1 - sqrt5) / 2), n))) / sqrt5));
 +}
 +</code>
 +
 +
 +==== Fibonacci-Folge per Skript berechnen ====
 +
 +[[Fibonacci-Folge per Skript berechnen]]
 +
 +
 +===== Zusammenhang zwischen Pi, Phi und der Fibonacci-Folge =====
 +
 +siehe auch: [[https://www.youtube.com/watch?v=LDoKsw3SOdw|Der goldene Schnitt und die Fibonacci-Folge]]
 +
 +In dem Video [[https://www.youtube.com/watch?v=EeOgWNdojRA|Die Pyramiden Lüge]] habe ich erfahren, dass das **//Quadrat von Phi = 5/6 von Pi//** ist und da ich ja bereits weiß, wie man Phi aus der Fibonacci-Folge berechnet, kann ich den genauen Zusammenhang hier demonstrieren.
 +
 +Als erstes benötigen wir zwei sehr große aufeinander folgende Zahlen aus der Fibonacci-Reihe, ich nenne sie hier "f" und "g". In diesem Beispiel soll "f" die 49. und "g" die 50. Zahl aus der [[https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge|Fibonacci-Folge]] sein.
 +
 +  f =  7778742049
 +  g = 12586269025
 +
 +daraus kann man //Phi// berechnen:
 +  Phi = 12586269025 / 7778742049
 +  Phi = 1,61803398875
 +
 +jetzt brauchen wir das Quadrat von //Phi//:
 +  Phi * Phi = 1,61803398875² = 2,61803398875
 +
 +und daraus können wir jetzt //Pi// berechnen:
 +  Pi = Phi * Phi * 6 / 5 = 3,1416407865
 +
 +Die Genauigkeit ist natürlich höher, je größer die verwendeten Zahlen aus der Fibonacci-Folge sind.
 +
 +Weil es Mathematik ist, geht es auch rückwärts:
 +  Pi = 3.14159265358979323846264338327950...
 +
 +leider rechnet mein Taschenrechner aber nur mit dieser Genauigkeit:
 +  Pi = 3,141592654
 +
 +und so sieht die Berechnung dann in einem Stück aus:
 +  Phi² = Pi * 5 / 6
 +  Phi² = 3,141592654 * 5 / 6
 +  Phi² = 15,707963268 / 6
 +  Phi² = 2,617993878
 +  Phi  = Wurzel(2,617993878)
 +  Phi  = 1,618021594
 +
 +
 +**Also, ich finde es sehr bemerkenswert, dass man aus einer sehr einfach zu erstellenden //Fibonacci-Folge//, mit einer sehr einfachen Formel, sowohl //Phi// als auch //Pi// berechnen kann. Ebenso bemerkenswert finde ich, dass es zwischen //Pi// und //Phi// einen so einfachen mathematischen Zusammenhang gibt.**
 +
 +===== eulersche Zahl =====
 +
 +**[[http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl|eulersche Zahl]]: e = 2,718281828459**...
 +
 +Die Kettenbruchentwicklung von e weist folgendes Muster auf, welches sich bis ins Unendliche fortsetzt:
 +
 +e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,...]
 +
 +
 +==== eulersche Zahl per Skript berechnen ====
 +
 +<file bash>
 +#!/bin/bash
 +
 +GENAUIGKEIT="64"
 +
 +if [ "$(uname -s)" = "FreeBSD" ] ; then
 +        B="tail -r"
 +elif [ "$(uname -s)" = "Linux" ] ; then
 +        B="tac"
 +else
 +        echo "Dieses System wird nicht unterstützt"
 +        exit 1
 +fi
 +
 +echo "2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1" \
 +  | tr -s '[;,]' '\n' \
 +  | ${B} \
 +  | while read ZAHL
 +do
 +        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
 +                FORMEL="${ZAHL}"
 +        else
 +                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
 +        fi
 +        echo "${FORMEL}"
 +done | tail -n1 | sed -e "s/.*/scale=${GENAUIGKEIT};&/" | bc -l
 +</file>
 +
 +  2.7182818284642508923782694452544440585600629510636232896063239753
 +
 +
 +===== 37-%-Regel =====
 +
 +Die von Geoffrey Miller  beschriebene Regel besagt nun: Man untersuche 37 % der Elemente der gegebenen Menge und finde darin das optimale Element. Dann untersucht man weiter einzelne Elemente, bis man ein Element findet, das besser ist als das bisher gefundene Optimum. Dieses Element wählt man.
 +
 +Bekannt wurde die 37-%-Regel vor allem durch Geoffrey Miller, der sie in seinem Buch The Mating Mind als mögliches Verfahren für die Partnerauswahl beschreibt. Zurück geht die Regel auf das sogenannte Sekretärinnenproblem, für das Eugene Dynkin  in einer Arbeit aus dem Jahr 1963 (also zwei Jahre vor der Geburt von Miller) die 1/e-Regel bewies: E. Dynkin, Optimal choice of the stopping time of a Markov process, DAN150, 2 (1963), 238-240 (Original in russisch). Es ist gerundet 1/e = 37 %.
 +
 +
 +===== Kettenbruchentwicklung =====
 +
 +Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da "Pi" irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.
 +
 +//Euler// fand heraus, dass periodische Kettenbrüche (so wie bei der Quadratwurzel von 2 oder bei der goldenen Zahl) quadratischen Irrationalzahlen entsprechen, und //Lagrange// zeigte später, dass alle diese Zahlen periodische Kettenbrüche haben.
 +
 +[[http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/zahlen/dergoldeneschnitt.html#5|Man kann beweisen, dass jeder unendliche Kettenbruch konvergiert.]] Ganz ähnlich, wie man reelle Zahlen durch Dezimalzahlen darstellt, kann man weiter zeigen, dass
 +
 +  * die Zuordnung Kettenbruch <--> reelle Zahl bijektiv ist (d.h. zu jeder reellen Zahl es genau einen Kettenbruch gibt, der sie darstellt und umgekehrt)
 +  * und die endlichen Kettenbrüche gerade zu den rationalen Zahlen gehören.
 +
 +
 +==== Kettenbruch per Skript ====
 +
 +Aus den oben genannten Kettenbruch-Zahlenwerten für "Pi", baut dieses Script den entsprechenden Kettenbruch zusammen:
 +
 +<file bash>
 +#!/bin/bash
 +
 +if [ "$(uname -s)" = "FreeBSD" ] ; then
 +        B="tail -r"
 +elif [ "$(uname -s)" = "Linux" ] ; then
 +        B="tac"
 +else
 +        echo "Dieses System wird nicht unterstützt"
 +        exit 1
 +fi
 +
 +echo "3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4" \
 +  | tr -s '[;,]' '\n' \
 +  | ${B} \
 +  | while read ZAHL
 +do
 +        if [ -z "${FORMEL}" ] ; then
 +                FORMEL="${ZAHL}"
 +        else
 +                FORMEL="(${ZAHL}+1/${FORMEL})"
 +        fi
 +        echo "${FORMEL}"
 +done | tail -n1
 +</file>
 +
 +  (3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(2+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(1+1/(84+1/(2+1/(1+1/(1+1/(15+1/(3+1/(13+1/(1+1/(4+1/(2+1/(6+1/(6+1/(99+1/(1+1/(2+1/(2+1/(6+1/(3+1/(5+1/(1+1/(1+1/(6+1/(8+1/(1+1/(7+1/(1+1/(2+1/(3+1/(7+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(1+1/(1+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(3+1/(1+1/(2+1/(4+1/(4+1/(16+1/(1+1/(161+1/(45+1/(1+1/(22+1/(1+1/(2+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(2+1/(24+1/(1+1/(2+1/(1+1/(3+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(10+1/(2+1/(5+1/(4+1/(1+1/(2+1/(2+1/(8+1/(1+1/(5+1/(2+1/(2+1/(26+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(8+1/(2+1/(42+1/(2+1/(1+1/(7+1/(3+1/(3+1/(1+1/(1+1/(7+1/(2+1/(4+1/(9+1/(7+1/(2+1/(3+1/(1+1/(57+1/(1+1/(18+1/(1+1/(9+1/(19+1/(1+1/(2+1/(18+1/(1+1/(3+1/(7+1/(30+1/(1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(3+1/(1+1/(2+1/(8+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(15+1/(1+1/(2+1/(13+1/(1+1/(2+1/(1+1/(4+1/(1+1/(12+1/(1+1/(1+1/(3+1/(3+1/(28+1/(1+1/(10+1/(3+1/(2+1/(20+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(5+1/(3+1/(2+1/(1+1/(6+1/(1+1/4))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
 +
 +
 +===== Pentagonhexakontaeder =====
 +
 +Das [[http://de.wikipedia.org/wiki/Pentagonhexakontaeder|Pentagonhexakontaeder]] ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten.
 +Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.
 +
 +{{Pentagonhexakontaeder.jpg?120x119}}
 +
 +Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
 +
 +----
 +
 +Ich finde diesen geometrischen Körper deshalb so interessant, weil hier ein kugelähnlicher 3D-Körper aus nur einer einzigen 2D-Geometrie besteht.
 +
 +Normalerweise ist es üblich mindestens zwei verschiedene 2D-Geometrie zum erstellen eines kugelähnlicher Gebildes zu verwenden.
 +Ein Fußball zum Beispiel besteht aus gleichseitigen 5-Ecken und 6-Ecken, auch ist es üblich 5-Ecke zusammen mit gleichseitigen 3-Ecken zu verwenden.
 +
 +Hier wird aber nur eine einzige Geometrie verwendet.
 +
 +
 +===== Kleinstes gemeinsames Vielfaches =====
 +
 +<file bash kgV.sh>
 +#!/bin/bash
 +
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +#
 +# Kleinstes gemeinsames Vielfaches
 +#
 +#------------------------------------------------------------------------------#
 +
 +LANG=C
 +STOP=nein
 +V=1
 +#set -x
 +while [ "${STOP}" = "nein" ]
 +do
 +        V="$(echo "${V}" | awk '{print $1 + 1}')"
 +        R0=""
 +        TEST=ja
 +
 +        for i in ${@}
 +        do
 +                R1="$(echo "${V} ${i}" | awk '{print $1/$2}')"
 +                R2="$(echo "${R1}" | egrep -v '[.].*[^0]')"
 +
 +                if [ "x${R2}" = x ] ; then
 +                        TEST=nein
 +                else
 +                        R0="${R0} ${i}*${R2}=${V},"
 +                fi
 +        done
 +
 +        if [ "${TEST}" = "ja" ] ; then
 +                STOP=ja
 +                echo "# ${R0}"
 +        fi
 +done
 +</file>
 +
 +  > ./kgV.sh 5 6 7
 +  #  5*42=210, 6*35=210, 7*30=210,
 +
 +
 +===== Riemannsche Vermutung (Die Riemann-Hypotese) =====
 +
 +  * [[https://youtu.be/sZhl6PyTflw?t=3753|Riemannsche Vermutung]]
 +  * [[https://youtu.be/qeCqjJpqbls?t=38|Die Riemann-Hypotese]]
 +